Теория вероятностей на ЕГЭ. Краткий теоретический курс с примерами
Автор: Борзенко Лариса Михайловна
Организация: МАОУ СОШ № 48
Населенный пункт: Тюменская область, г. Тюмень
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Простой пример. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
-
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.
-
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
-
В пакете 25 яблок, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.
-
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.
-
Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.
-
Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.
Ответ: 0,5.
-
Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты — уже четыре исхода:
орел орел, орел решка, решка орел, решка решка
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 2 2 = 2³ = 8.
Вот они:
орел орел орел
орел орел решка
орел решка орел
решка орел орел
орел решка решка
решка орел решка
решка решка орел
решка решка решка
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 3/8.
-
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.
А теперь — благоприятные исходы: 2 6 ; 3 5 ; 4 4 ; 5 3 ; 6 2. Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.
Рассмотрим теоремы, при помощи которых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий.
Определение. События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании.
Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P( A) + P(B).
Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и ¬A равна 1:
P(A) + P(¬A) =1.
-
Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6? В этом опыте обозначим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В событие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их суммой C = A + B . Из условия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем: Р C = P (A)+Р( B =0,9. Ответ: 0,9.
Определение. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.
Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть
Р(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).
-
Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков – 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.
По формуле сложения вероятностей имеем: 0,9 + 0,8 - 0, 75 = 0,95. Ответ: 0,95.
Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.
Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(AB) = P( A)* P(B).
-
Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза подряд.
Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
-
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.
Пусть Аня оказалась в некоторой группе. Тогда для 20 оставшихся учащихся оказаться с ней в одной группе есть две возможности. Вероятность этого события равна 2 : 20 = 0,1.
Вероятность: логика перебора.
Задача про монеты многим показалась сложной.
В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:
Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?
Запишем, что у нас в первом кармане.
Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:
123, 124, 125, 126…
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем: 135, 136, 145, 146, 156.
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем: 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
Всего 20 возможных исходов.
У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего 12 благоприятных исходов.
Тогда искомая вероятность равна 12/20. Ответ: 0,6.
Подборка тренировочных задач с ответами.
1. На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ: 0,9
2. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной. Ответ: 0,6
3. В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,96
4. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. Ответ: 0,05
5. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.
Ответ: 0,1
6. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер? Ответ: 0,18
7. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число? Ответ: 0,9
8. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет номер, являющийся двузначным числом? Ответ: 0,64
9. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш? Ответ: 0,013
10. В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов разыгрывается 1250 вещевых и 810 денежных выигрышей. Какова вероятность денежного выигрыша? Ответ: 0,0081
11. В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Какова вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом? Ответ: 0,16
12. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?
Ответ: 0,2
13. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?
Ответ: 0,2
13. Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи? Ответ: 0,94
14. Из 1400 новых карт памяти в среднем 56 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна? Ответ: 0,96
15. В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна. Ответ: 0,98
16. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 192 до 211 включительно делится на 5? Ответ: 0,2
17. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. Ответ: 0,2
18. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 0,35
19. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик. Ответ: 0,4
20. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. Ответ: 0,88
21. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A? Ответ: 0,75
22. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски? Ответ: 0,25
23. В коробке 14 пакетиков с чёрным чаем и 6 пакетиков с зелёным чаем. Павел наугад вынимает один пакетик. Какова вероятность того, что это пакетик с зелёным чаем? Ответ: 0,3
24. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: 0,2
25. Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка. Ответ: 0,2
26. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А. Ответ: 0,25
27. На экзамене по биологии школьнику достаётся один случайно выбранный вопрос из списка. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Членистоногие», равна 0,15. Вероятность того, что это окажется вопрос на тему «Ботаника», равна 0,45. В списке нет вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ: 0,6
28. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 1 спортсмен из Швеции и 2 спортсмена из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним. Ответ: 0,1
29. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка. Ответ: 0,6
30. На экзамене 20 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. Ответ: 0,85
31. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России. Ответ: 0,55
33. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет. Ответ: 0,8
34. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 0,35
35. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции. Ответ: 0,45
36. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? В ответе укажите результат, округленный до тысячных. Ответ: 0,995
37. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Ответ: 10
38. Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Галя. Ответ: 0,25
39. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными? Ответ: 0,9604
40. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,03. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными? Ответ: 0,9409
Дополни своими задачами:________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Список используемой литературы:
1. http://moodle.mouo.n-varsh.obr55.ru/
2. Открытый банк ФИПИ.